Theorie und Praxis der linearen Integralgleichungen by I.S. Fenyö, Stolle

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Example text

AI ebenfalls ein Integraloperator ist. Der Sachverhalt ist bei endlichdimensionalen Integraloperatoren äußerst einfach. Falls R( X) endlichdimensional ist und eine Basis für Y = R( X) mit bezeichnet wird, dann hat (1) die Gestalt n Xx = E Ykak> k=l wobei ')'k (k = 1,2, ... , n) gewisse Zahlen sind. Alak k=l gilt, so sieht man, daß auch der Definitionsbereich von X endlichdimensional (von der Dimension höchstens n) sein muß. AI = E Ck @ db k=l 34 10. Eine allgemeine Theorie der Integralgleichungen erster Art wobei ak, dk E X und bb Ck E Y (k = 1,2, ...

Hat diese Gleichung die Lösung y, dann ist x = :Ty eine Lösung von (30). (32) ist wieder eine Gleichung zweiter Art mit einem kompakten Operator (vgl. , p. 442). Auch diese Behauptung sieht man sofort ein. Offensichtlich braucht X nicht unbedingt ein Integraloperator und X ein Funktionenraum zu sein. Alles, was gesagt wurde, gilt auch dann, wenn X irgendein linearer Operator ist, welcher den Banachraum X in sich abbildet. Wir illustrieren die obigen Begriffe an Hand eines Beispiels. Es soll die Integralgleichung f K(s, t) x(t) dt = I(s) , b a s E [a, b] (a < b), (33) 32 10.

L' + ... + an(t) + bn(s - t)] x(t) dt. -1 Dann ist dkg 1 f+1[ S"-k ] (s) = ao(t) + ... _k(s - t) x(t) dt dsk l' (n - k)! ) (k = 0, 1, 2, ... ': ~ (l~j) log I' - '1 xl') d', + - f -+1 d"+1 g 1 - - (s) = -lim log e (x(s - e) ds"+1 1"-<1 x(s + e)) 1 l' -1 x(t) dt. s-t Wir suchen die Lösung unserer Integralgleichung im Raum Cl( -1, d"+1g 1 --(s)=ds"+1 f l' -1 + 1), dann ist +1 x(t) --dt. s - t (13) 44 10. Eine allgemeine Theorie der Integralgleichungen erster Art Daher genügt 9 der linearen Differentialgleichung gtH1 + cog(n) + ...

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